Il giardino di Archimede
 Un museo per la matematica
Breve storia
della trigonometria

    

I contributi arabo-indiani.

La conquista romana, se non aveva contribuito in nessun modo allo sviluppo delle scienze matematiche, non ne aveva nemmeno ostacolato la continuazione, specie attorno alla scuola di Alessandria che continua ben oltre la conquista romana dell'Egitto, avvenuta nel I secolo a. C. Dopo il crollo dell'impero romano d'occidente, e il ripiegamento anche culturale di quello d'oriente, i naturali successori dei geometri greci a partire almeno dal IX secolo furono i matematici arabi. Posto al crocevia di una tradizione matematica in cui confluivano i resti della cultura egiziana e babilonese, i testi della geometria greca classica e le innovazioni dei matematici indiani, gli arabi assimilano rapidamente gran parte di queste differenti tradizioni, e le fondono in un metodo originale, che consegneranno alcuni secoli più tardi agli studiosi della nascente Europa. Attraverso la mediazione araba giungono in Occidente alcune scoperte fondamentali, sia tecnologiche, come la carta, che avrà un peso determinante per la diffusione della cultura e per l'avanzamento della scienza, sia scientifiche, come l'uso delle cifre dette comunemente arabe, ma che sarebbe più esatto chiamare indiane, e della numerazione posizionale.1.2 Dall'India viene la prima innovazione rispetto alla trigonometria alessandrina: l'uso del seno al posto della corda. La prima opera che contiene una tavola dei seni, che data attorno al IV o V secolo della nostra era, è conosciuta con il nome di Surya Siddhanta; in essa sono calcolati i seni degli angoli di multipli di $3^{\circ} \; 45^{\prime}$, fino a $90^{\circ}$. Al seno, gli astronomi indiani avevano aggiunti il coseno e il seno verso (una funzione circolare uguale a $1-\cos \, \alpha$, oggi caduta in disuso) e probabilmente la tangente e la cotangente. Testi astronomici indiani, contenenti tavole dei seni, vengono tradotti in arabo già nell'ottavo secolo d. C., alla corte del sultano di Baghdad, AL-MANS¯UR. Gli astronomi arabi studiano sistematicamente le funzioni circolari, e vi apportano importanti innovazioni e miglioramenti. D'altra parte, oltre che per motivi astronomici, la trigonometria, e in special modo la trigonometria sferica, era particolarmente importante anche per motivi religiosi. Come si sa, i musulmani recitano le loro preghiere con il viso rivolto verso la Mecca, la città natale di Maometto. Nel mondo arabo, la direzione della Mecca, la Qibla, è indicata da una nicchia, la mihrab, tracciata su tutti gli orologi solari pubblici, la cui direzione era determinata risolvendo il triangolo sferico che ha come vertici il posto, la Mecca e il polo nord, a partire dalla conoscenza della latitudine e della longitudine del posto e della Mecca. Ma torniamo alle funzioni trigonometriche. Il coseno era definito semplicemente come il seno dell'arco complementare: $\cos \, \alpha = \mathop{\rm sen}\nolimits \, (90^{\circ} -\alpha)$; in genere non si avevano delle tavole del coseno, dato che esso poteva essere letto direttamente dalle tavole dei seni. La tangente e la cotangente sono invece legate alla gnomonica, la scienza degli orologi solari. In particolare, la tangente è l'ombra che uno gnomone (un'asta infissa perpendicolarmente su un muro verticale) di lunghezza $1$ proietta sul muro per una data altezza del sole.
Corrispondentemente, la cotangente è l'ombra dello gnomone piantato verticalmente su un piano orizzontale. In ambedue i casi, l'angolo $\vartheta$ è l'altezza del sole sull'orizzonte, che poteva così essere determinato dalla misura delle ombre. Similmente, la secante e la cosecante rappresentano l'ipotenusa dei triangoli che hanno come cateti lo gnomone e la sua ombra. Così la tangente e la cotangente (come pure la secante e la cosecante) sono legate originariamente alla costruzione degli orologi solari, rispettivamente verticali e orizzontali. Di esse viene tabulata la sola tangente, dato che, come per il coseno, si riconosce subito che la cotangente è la tangente del complemento. Vale la pena di ricordare che i termini originari per denotare queste due funzioni erano zill e zill màkus, tradotti in latino come umbra recta e umbra versa. Il termine tangente è stato introdotto solo nel $1583$ da T. FINK (1561-1656), quello di cotangente nel $1620$ da E. GUNTER (1581-1626). Una volta introdotte queste funzioni, occorreva prepararne delle tavole, nonché perfezionare quelle già esistenti. Su questo problema si sono affaticati moltissimi matematici arabi e poi europei. Tra tutti, ricorderemo solo AL- KSASSH¯I (XV secolo), perché il suo metodo è legato all'equazione di terzo grado. Come abbiamo detto, TOLOMEO trova la corda corrispondente a $1^{\circ}$ non esattamente, ma approssimandola per difetto e per eccesso. Un miglioramento della precisione non poteva venire dal metodo di TOLOMEO, se non rimpiazzando gli angoli di $1^{\circ} \;
30^{\prime}$ e $45^{\prime}$ con altri angoli più vicini a $1^{\circ}$, di cui si sapessero calcolare le corde (o i seni) esattamente. Questo si può fare continuando a suddividere l'angolo di $45^{\prime}$, fino ad angoli piccoli quanto si vuole, e poi utilizzare le formule di addizione per calcolare il seno dei multipli di quest'ultima quantità, tra i quali ce ne sono di vicinissimi a $1^{\circ}$. Si tratta però di un'operazione lunghissima, e in gran parte inutile, dato che si dovrebbero calcolare i seni di moltissimi archi piccoli, che alla fine non figureranno nelle tavole. L'idea di AL-KSASSH¯I è invece basata sulla formula che dà il seno di $3\vartheta$ in termini di quello di $\vartheta$, analoga a quella per il coseno:

\begin{displaymath}\mathop{\rm sen}\nolimits \, 3\vartheta = 3 \mathop{\rm sen}\nolimits \, \vartheta -4\mathop{\rm sen}\nolimits ^{3}\vartheta. \end{displaymath}

Se ora si prende $\vartheta=1^{\circ}$, e si pone per semplicità $x=\mathop{\rm sen}\nolimits \,
1^{\circ}$, la relazione precedente si può scrivere nella forma

\begin{displaymath}x = \frac{4x^{3}+\mathop{\rm sen}\nolimits \, 3^{\circ}}{3}. \end{displaymath}

D'altra parte, $a=\mathop{\rm sen}\nolimits \, 3^{\circ}$ è noto con precisione arbitraria, dato che si può ottenere per bisezione e quindi si riduce al calcolo di radici. Si tratta allora di risolvere l'equazione

\begin{displaymath}x = \frac{4x^{3}+a}{3}. \end{displaymath}

A prima vista, ci siamo infilati in un vicolo cieco, dato che non c'era all'epoca nessun metodo per risolvere un'equazione di terzo grado. Ma AL-KSASSH¯I ha una brillante idea. Il numero $x=\mathop{\rm sen}\nolimits \,
1^{\circ}$ è piuttosto piccolo, e dunque è ancora più piccolo il suo cubo. Possiamo allora trovare una prima approssimazione per $x$ semplicemente ignorando il termine $x^{3}$:

\begin{displaymath}x_{1}=\frac{a}{3}. \end{displaymath}

A questo punto, possiamo ottenere una seconda approssimazione

\begin{displaymath}x_{2}= \frac{4x_{1}^{3}+a}{3}, \end{displaymath}

poi una terza con il valore di $x_{2}$, e così via. Si può così trovare $\mathop{\rm sen}\nolimits \, 1^{\circ}$ con l'approssimazione che si vuole, e soprattutto se si vuole migliorare la precisione basta riprendere il valore che si era trovato e ricominciare l'iterazione da quel punto.



Indice: breve storia della trigonometria

Pagina successiva

Pagina precedente

Pagina principale