Ricordiamo la definizione di algebra simmetrica.

Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica diversa da 2 e V uno spazio di dimensione n su K

Indichiamo con T(V) l' algebra tensoriale su V.

Consideriamo in T(V) l' ideale I'(V) generato dagli elementi della forma v $\otimes$ v con v ∈ V, ed il quoziente

∧k+1(V) : =

T(V) .

I'(V)

Denotiamo l' immagine di un tensore vi1 $\otimes$ ... $\otimes$ vik ∈ T(V) nel quoziente con la scrittura vi1 ∧ ... ∧ vik.

Poichè I'(V) = $\oplus$ k ( I' (V) ∩ $\otimes$ k V ), anche l'algebra Λ(V) è graduata:

∧(V) = $\oplus$k ∧k(V),

dove ∧k(V) =

$\otimes$ k V .

I' k(V)

Questa nuova algebra è stata costruita in modo che i suoi elementi, oltre a soddisfare le relazioni multilineari dei tensori qualsiasi, soddisfano anche quelle antisimmetriche, cioè v∧ w = - w ∧ v ∀v, w ∈ V e quindi v ∧ v = 0.

Definizione.

L'algebra esterna su V è lo spazio ∧(V) e i suoi elementi si dicono tensori antisimmetrici.

L'addendo ∧k(V) dell'algebra esterna si dice algebra esterna di grado k su V .

Osservazione 1.

L'algebra esterna è un'algebra associativa e anticommutativa in senso graduato.

Proposizione 1.

dim (∧k(V )) =

(

n

k
).