Consideriamo per semplicità il caso di G(1,3) 2.

Per definizione di varietà 2- secante,

G(1,3)2 =

                                                           

 U                 {t0P0 + t1P1 | t0, t1 ∈C}
P0, P1∈G(1,3)
 

Nella parametrizzazione della Grassmanniana, due punti generici di G(1,3) sono individuati da certi parametri

P0 ↔ X0 = {x 0,0,0 , x 0,0,1 ,x 0,1,0 , x 0,1,1 }  e   P1 ↔ X1 = {x 1,0,0 , x 1,0,1 , x 1,1,0 , x 1,1,1 }.

Più precisamente, la parametrizzazione locale è

par :

G(1,3)

 →

P (∧k+1(C4 )) $\simeq$ P $\binom{4}{2}$-1 = P5

(

1   

0   

x0,0  

x0,1  

0   

1   

x1,0  

x1,1  
)
freccia

{ 1 , x1,0 , -x0,0 , x1,1 , -x0,1 , x0,0x1,1- x0,1x1,0}

Possiamo indicare P0 = par(X0) e P1 = par(X1) .
Le equazioni parametriche di G(1,3) 2 sono

parentesi graffa

z 0 = t 0 1 + t 1 1

z 1 = t 0 x 0,1,0 + t 1 x 1,1,0

z 2 = -t 0 x 0,0,0 - t 1 x 1,1,1

z 3 = t 0 x 0,1,1 + t 1 x 1,1,1

z 4 = -t 0 x 0,0,1 - t 1 x 1,0,1

z 5 = t 0 x 0,0,0 x 0,1,1+ t 1 x 0,0,1x 0,1,0

Eliminando le variabili t 0 , t 1 , x 0,0,0 , x 0,0,1 , x 0,1,0 , x 0,1,1 , x 1,0,0 , x 1,0,1 , x 1,1,0 , x 1,1,1 , troviamo le equazioni cartesiane per
G(1,3) 2.

Abbiamo lavorato su un anello polinomiale a coefficienti in C e nelle variabili t 0, t 1, x 0,0,0, x 0,0,1, x 0,1,0, x 0,1,1, x 1,0,0, x 1,0,1, x 1,1,0,
x 1,1,1, z 0, z 1, z 2, z 3, z 4, z 5.