L'algebra simmetrica

Ricordiamo la definizione di algebra simmetrica.

Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica diversa da 2 e V uno spazio di dimensione n su K .

Indichiamo con T(V) l' algebra tensoriale su V .

Consideriamo in T(V) l' ideale I(V) generato dagli elementi della forma v $\otimes$ , w - w $\otimes$ , v con v , w ∈ V , ed il quoziente

Sym(V) =

T(V)

I(V)

Denotiamo l' immagine di un tensore v_i₁ $\otimes$ ... $\otimes$ v_{i_k} ∈ T(V) nel quoziente con la scrittura v_i₁ · ... · v_{i_k} .

Poichè I(V) = $\oplus$ _k (I(V) ∩ $\otimes$ _kV ) , anche l'algebra Sym(V) è graduata:

Sym(V) := $\oplus$ _k S^k (V ) ,

dove S^k(V) =

$\otimes$ k V .

I^k(V)

Questa nuova algebra è stata costruita in modo che i suoi elementi, oltre a soddisfare le relazioni multilineari dei tensori qualsiasi, soddisfino anche la commutatività.

Definizione.

L'algebra simmetrica su V è lo spazio Sym(V) e i suoi elementi si dicono tensori simmetrici.

L'addendo S^k(V) dell'algebra simmetrica si dice algebra simmetrica di grado k su V.

Osservazione 1.

L'algebra simmetrica è un'algebra associativa e commutativa.

Ecco alcune proprietà importanti dell'algebra simmetrica.

Proposizione 1.

I tensori di S^k(V) sono esattamente i polinomi omogenei di grado k negli elementi di V .

Dunque l'algebra simmetrica Sym(V) si può vedere come l'algebra dei polinomi K[e₁, ... , e_n] .

Osservazione 2.

Esiste un isomorfismo Sym(V^k , K) $\simeq$ (S^k (V))^* , quindi lo spazio delle forme multilineari simmetriche è isomorfo allo spazio duale dei tensori simmetrici.

Osservazione 3.

L'algebra simmetrica completa $\oplus$ _k S^k(V) corrisponde all'algebra dei polinomi su V.