Definizione di Grassmanniana

Ricordiamo la definizione di Grassmanniana.

Hermann Grassmann (1809-1877) foto di Hermann Grassmann

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n+1 su un campo K e k un numero intero positivo, k≤ dim(V) .

Definizione.

La Grassmanniana G(k,V) è l'insieme dei sottospazi proiettivi di dimensione k in P(V) .

Con G( k ,n) indicheremo la Grassmanniana G(k ,Kⁿ⁺¹) .

Definizione.

L'applicazione

ν_k :
G ( k , V )
→
P(∧^k+1(V ))

< v₁ , ... , v_{k + 1} >
freccia
[v₁ ∧ ... ∧ v_{k + 1}]

si dice immersione di Plücker di G(k ,V).

Osservazione 1.

La Grassmanniana immersa è il sottospazio di P(∧^k+1(V )) formato da tutti i tensori antisimmetrici totalmente decomponibili , cioè da quei tensori antisimmetrici ω che si possono scrivere come v₁∧...∧v_k+1 per dei vettori v₁,...,v_k+1∈ V .

Osservazione 2.

La Grassmanniana G(k ,V) è una sottovarietà algebrica di ∧^k+1(V ).

Osservazione 3.

G(k ,n) $\simeq$ G(n-k-1,n) , quindi basterà considerare G(k ,n) per k ≤

n-1 .

2

Osservazione 4.

dim(G(k ,n))=(k+1)(n-k).

Dimostrazione.

ν_k :	G ( k , V )	→	P(∧^k+1(V ))
	< v₁ , ... , v_{k + 1} >		[v₁ ∧ ... ∧ v_{k + 1}]