Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n+1 su un campo K e k un numero intero positivo, k≤ dim(V) .

Dimostriamo che

dim(G(k ,n))=(k+1)(n-k).

Dimostrazione.

Uno spazio Λ∈G(k,V) si può rappresentare con una matrice di rango k+1

A =

1 . . . 0   b0,k+1 . . . b0,n . . . . . . . . . 0 . . . 1   bk,k+1 . . . bk,n

.

dove le righe corrispondono a delle coordinate di una base di Λ.

Se definiamo con U_{i0 ,...,ik} l’aperto affine di dimensione (k+1)x(n-k) le cui coordinate sono b_0,k+1, ... , b_k,n , notiamo che U_i0,...,ik si può descrivere come l’insieme dei k -piani che non incontrano il piano (n-k-1)-dimensionale di equazioni x₀= ... =x_k= 0 , o anche come l’insieme dei sottospazi Λ tali che il minore massimale di M_Λ ottenuto prendendo in esame le colonne di posti i₀, ... ,i_k sia non nullo.

Poichè esiste almeno un minore non nullo di ordine k+1 della matrice M_Λ , possiamo ricoprire G(k,n) con

(

n+1 k+1

)

aperti affini del tipo Ui0 ,...,ik.

Dunque La Grassmanniana contiene, come aperti di Zariski, aperti affini isomorfi a A^k(n-k) e quindi la sua dimensione è (k+1)(n-k) .