Consideriamo il polinomio f (x,y) = a 0 x 4 + 4 a 1 x 3 y + 6 a 2 x 2y 2 + 4 a 3 x y 3 + a 4 y 4 .
Ad f possiamo associare la particolare matrice simmetrica di ordine 3 formata dai coefficienti:

A = $parentesi$

a0

a1

a2

a1

a2

a3

a2

a3

a4
$parentesi$ ,

visto che

f = ( x 2 , 2 x y , x 2) A

$parentesi$

x2

2x y

y2
$parentesi$.

Si nota che

Osservazione 1.

A ha rango 1 se e solo se f è una potenza quarta.

Facciamo l'esempio più semplice:

se f(x,y) = x 4 , allora A = $parentesi$

1

0

0

0

0

0

0

0

0

$parentesi$ ha rango 1.

Quindi vale la corrispondenza

matrici di Hankel di ordine 3 con rango = 1

freccia

polinomi di quarto grado in due variabili
che sono quarte potenze di forme lineari

Se poi consideriamo la corrispondenza

punti di C 4

freccia

matrici di Hankel di ordine 3 con rango = 1

deduciamo che i punti di C 4 sono associati ai polinomi f del tipo f = L 4 per una forma lineare L.

Torniamo ora al disegno:

disegno di $C_{4}$

Per le osservazioni che abbiamo fatto

disegno di $C_{4}^{2}$

quindi

punti di C 4 2

freccia

polinomi di quarto grado in 2 variabili del tipo f = L 1 4 + L 2 4

e precisamente

C42 =

                                                                   

{[ f ] | f = L14 + L24 | L1 , L2 forme lineari} .
 

L'esempio più semplice è questo:

f(x,y) = x 4 + y 4 e det $parentesi$

1

0

0

0

0

0

0

0

1

$parentesi$

= 0.