L’obiettivo di questa ricerca e’ stata la definizione e lo studio di metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie, sistemi non lineari e problemi di programmazione non lineare, con lo sviluppo di relativo software matematico.

In maggior dettaglio, la ricerca ha avuto quattro obiettivi principali, identificabili come segue:

-------------------------------------------

1) DEFINIZIONE DI EFFICIENTI STRATEGIE DI IMPLEMENTAZIONE DEI METODI NUMERICI DI BASE PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, IN VISTA DEL LORO UTILIZZO SOTTO FORMA DI CODICI DI CALCOLO.

Questo obiettivo ha richiesto un sistematico studio ed approfondimento relativamente ai metodi di base per la risoluzione numerica di equazioni di evoluzione. Questo aspetto della ricerca si e' articolato come segue:

1.a) studio delle proprieta’ di metodi impliciti, con particolare riferimento ai metodi BVM, le loro varianti a blocchi, ed i metodi impliciti “one step” in generale;

1.b) risoluzione dei problemi discreti generati dalla applicazione dei metodi numerici;

1.c) selezione della mesh di integrazione.

--------------------------------------------

2) EFFICIENTE TRATTAMENTO DI PROBLEMI DIFFERENZIALI CON PARTICOLARI CARATTERISTICHE.

Questo obiettivo ha richiesto lo sviluppo e analisi di metodi numerici specifici per le classi di problemi individuate. Tra queste si menzionano, in particolare, le seguenti:

2.a) i problemi Hamiltoniani;

2.b) le equazioni differenziali algebriche (DAE);

2.c) le equazioni differenziali stocastiche (SODE);

2.d) i problemi di Sturm-Liouville (SLP);

2.e) i problemi derivanti dalla semi-discretizzazione di equazioni alle derivate parziali (PDE).

--------------------------------------------

3) SVILUPPO DI CODICI DI CALCOLO PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE E DIFFERENZIALI ALGEBRICHE E AGGIORNAMENTO DEL “TEST SET FOR IVP SOLVERS”.

In questo caso, l’obiettivo e’ stato lo sviluppo di software matematico, con adeguati requisiti di efficienza e robustezza, per:

3.a) problemi ai valori iniziali (ODE/DAE-IVP);

3.b) problemi ai valori ai limiti (ODE-BVP).

I problemi cui i predetti software sono rivolti, sono quelli piu’ difficili nelle rispettive categorie, quali, ad esempio, i problemi di tipo stiff.

E’ stata, inoltre, prevista la specifica attivita’ di

3.c) sviluppo e manutenzione di un data base di codici di calcolo e problemi (il “Test Set for IVP Solvers”, che e' disponibile al sito: http://pitagora.dm.uniba.it/~testset/ ).

Questo ultimo aspetto ha una sua specifica valenza, nell’ambito di questo progetto, in quanto la disponibilita’ di tali data base rappresenta un utile strumento per tutta la comunita’ scientifica che lavora in questo settore. E’ infatti fondamentale avere a disposizione degli strumenti per il benchmarking di nuovi codici, al fine di rendere efficiente ed efficace l’attivita’ di ricerca sottostante. Questa rilevanza e' confermata dagli oltre 600.000 accessi al sito (al gennaio 2007).

-------------------------------------------------

4) ANALISI, SVILUPPO ED IMPLEMENTAZIONE DI METODI NUMERICI PER LA RISOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI NON LINEARI E DI PROBLEMI DI PROGRAMMAZIONE NON LINEARE DI GRANDI DIMENSIONI.

Relativamente a questo specifico punto, la ricerca si e' articolata come segue:

4.a) analisi di metodi tipo Newton per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari e per problemi di programmazione non lineare: problemi di ottimizzazione non lineare e disequazioni variazionali;

4.b) costruzione di un insieme di problemi test per problemi di ottimizzazione non lineare derivanti da problemi di controllo ottimo di tipo parabolico e di tipo ellittico, e da problemi di equilibrio descritti da disequazioni variazionali;

4.c) analisi di metodi numerici del tipo proiezione per la programmazione quadratica e relative applicazioni;

4.d) costruzione di un software per problemi di apprendimento automatico risolti con schemi che utilizzano come nucleo computazionale i metodi di tipo proiezione.

---------------------------------------------------

Si riporta una descrizione sintetica dei risultati, con i riferimenti bibliografici piu' significativi, seguendo l'ordine degli obiettivi illustrati al precedente punto 10.

1.a) Analisi dei metodi numerici per ODE
---------------------------------------------------
In questo caso, sono state sia analizzate classi di metodi BVM precedentemente introdotte che definite di nuove. In particolare:
- nella referenza [6] e' stata fatta l'analisi di stabilita' per i "Top Order Methods", una famiglia di BVM simmetrici di ordine massimo, la cui A-stabilita' (in senso generalizzato) era stata osservata numericamente, ma non dimostrata. Altre questioni riguardanti la stabilita’ dei metodi LMM sono trattate in [7,8];
- in [13] viene fatta l'analisi di una nuova classe di metodi BVM, denominati "BS methods", caratterizzati da una estensione continua costituita da una spline interpolante di collocazione. Inoltre, in [12] viene analizzata l'implementazione con passo variabile dei metodi proposti, in vista della loro implementazione in un codice per la risoluzione di ODE-BVP;
- in [21] vengono definite ed analizzate formule BVM per derivate di ordine superiore, con applicazione alla risoluzione di ODE-BVP.

1.b) Risoluzione dei problemi discreti
----------------------------------------------
Riguardo a questo punto, e' stata condotta l'analisi di metodi "blended impliciti a blocchi", che sono metodi per i quali e' naturalmente definito uno splitting nonlineare diagonale per la risoluzione dei problemi discreti generati, e la stesura di un software per la risoluzione di sistemi BABD (Block Almost Block Diagonal), che risultano dalla risoluzione di problemi ai valori ai limiti. In particolare:
- nella referenza [2] vengono descritte in dettaglio le strategie implementative utilizzate nel codice di calcolo BiM, per la risoluzione di ODE-IVP di tipo stiff, tese ad evitare la rivalutazione dello Jacobiano e/o della fattorizzazione che sarebbe richiesta ad ogni passo di integrazione;
- nella referenza [5] l'implementazione "blended" dei metodi impliciti a blocchi e’ estesa al caso di problemi del secondo ordine di tipo stiff;
- in [24] e’ studiata la risoluzione di sistemi con struttura ABD (Almost Block Diagonal), mediante riduzione ciclica. Questo approccio ha quindi consentito la definizione di un efficiente algoritmo di risoluzione per la risoluzione di sistemi BABD [23], reperibile al sito [BABDCR].

1.c) Selezione della mesh
--------------------------------
Questo punto della ricerca ha riguardato sia il caso di ODE-IVP che ODE-BVP. In particolare:
- in [3] viene fatta una dettagliata analisi della stima dell'errore ottenuta mediante "deferred correction", quando i metodi utilizzati sono metodi a blocchi definiti da un opportuno insieme di formule LMF. L'analisi condotta ha permesso di semplificare grandemente la stima dell'errore nei codici BiM e BiMD (vedi 3.a));
- nel codice TOM [10] e' stata implementata una innovativa tecnica di variazione del passo basata sul condizionamento del problema differenziale che permette di risolvere efficientemente problemi particolarmente difficili (ad esempio quelli a perturbazione singolare) sui quali i codici attualmente disponibili generalmente falliscono. Questa tecnica e' stata generalizzata ed opportunamente modificata in modo da essere utilizzabile in altri due codici basati sulla deferred correction. In particolare, in collaborazione con il Prof. Jeff Cash (Imperial College, Londra), e' stato modificato il codice TWPBVP, in modo da poter utilizzare una tecnica ibrida di variazione del passo, basata sia sul condizionamento che sul controllo dell'errore [9,26]. I buoni risultati ottenuti da questa implementazione hanno motivato l'analisi di un'altro codice, TWPBVPL, che implementa i metodi di Lobatto, con la conseguente release di un nuovo codice modificato, TWPBVPLC [27]. La connessione tra condizionamento e stiffness dei problemi e’ stata inoltre studiata anche in contesti piu’ generali [11].

2.a) Problemi Hamiltoniani
---------------------------------
Riguardo a questo punto, sono state prese in esame le proprieta' dei metodi simmetrici per la risoluzione di sistemi hamiltoniani e, piu' in generale, di problemi conservativi. In particolare:
- in letteratura, lo studio del comportamento a lungo termine di tali formule, riferito alla loro capacita' di conservare gli integrali primi quali l'energia, e' stata effettuata mediante l'analisi backward che ha come obbiettivo la determinazione di un nuovo problema continuo di tipo hamiltoniano la cui soluzione, proiettata sulla griglia temporale assegnata, coincida con quella numerica. Il termine perturbativo introdotto nell'equazione continua e' uno sviluppo in serie secondo le potenze del passo di integrazione che, in generale, non risulta essere convergente. Da questa mancata convergenza segue l'impossibilita' di dedurre una legge di conservazione dell'energia per tempi indefiniti. L'approccio utilizzato nelle referenze [14,17,18,19] ha invece come prerogativa la determinazione delle caratteristiche geometriche della soluzione numerica senza che il metodo numerico venga assimilato ad un problema continuo, permettendo di esaminare le corrispondenti proprieta' di conservazione;
- in [15] si vede come, in alcune situazioni di interesse, sia possibile associare ad un opportuno metodo numerico di tipo simmetrico una energia discreta intrinseca il cui valore in generale differira' da quello dell'energia continua ma viene perfettamente ed indefinitamente conservato. Ulteriormente, si e' visto che le formule simmetriche soddisfano una proprieta' definita col nome di "state-dependent simplecticity" che, per alcuni casi piu' semplici, si e' provata essere topologicamente equivalente alla classica proprieta' di simpletticita' dei sistemi hamiltoniani [16,25].
- altre tematiche legate alla risoluzione numerica di sistemi Hamiltoniani sono state trattate in [28,29], mentre questioni legate alla determinazione di autovalori di matrici Hamiltoniane sono state approfondite in [22].

2.b) Equazioni differenziali algebriche (DAE)
-------------------------------------------------------
Nella referenza [4] l'implementazione "blended" dei metodi impliciti a blocchi e' stata generalizzata al caso della risoluzione di DAE linearmente implicite. L'analisi lineare di convergenza per lo splitting risultante ha evidenziato che il contributo alla matrice di iterazione (riconducibile ad una matrice diagonale a blocchi) della componente algebrica del problema risulta essere costituita da un blocco diagonale nilpotente con indice di nilpotenza pari all'indice differenziale del problema continuo. Pertanto, questo ha permesso di concludere che la risoluzione iterativa del problema discreto mediante lo splitting proposto e' essenzialmente legata alla sola componente differenziale del problema continuo, la cui analisi era stata gia’ condotta in precedenza. Questa analisi ha consentito il successivo sviluppo del codice BiMD, descritto successivamente.

2.c) Equazioni differenziali stocastiche (SODE)
----------------------------------------------------------
Questo aspetto della ricerca ha riguardato sia l'analisi di metodi esistenti che la definizione di nuovi metodi. In particolare:
- in [1] e' stata condotta l'analisi di convergenza per metodi lineari multistep di tipo Adams, precedentemente introdotti, per la risoluzione di SODE in forma di Stratonovich. L'analisi condotta si basa su una formulazione matriciale del problema discreto globale;
- nelle referenze [41,42,43,44] sono analizzati metodi tipo Eulero e Runge-Kutta per SODE, con eventuale ritardo, con applicazione a problemi di bio-scienze.

2.d) Problemi di Sturm-Liouville (SLP)
-----------------------------------------------
Questo punto della ricerca e' stato svolto in collaborazione con il Prof. Marco Marletta dell'Universita' di Cardiff. In particolare:
- questioni legate alle proprieta’ teoriche dei problemi continui sono state trattate in [31,32];
- in [33,34] sono state stati definiti metodi di correzione, per le approssimazioni degli autovalori, basate sulla "miss-distance"; una metodologia di estrapolazione e’ invece descritta in [35];
- nella referenza [30] sono state studiate due nuove tecniche di calcolo degli autovalori per SLP della forma -y''+Q(x)y=lambda y, x>0, dove il potenziale Q ha una componente periodica propria ed una di perturbazione. In questo caso, in accordo con la teoria standard di Floquet, si riscontra una struttura dello spettro essenziale a lacune (band-gap (bg)). I metodi proposti sono in grado di fornire approssimazioni di autovalori in ogni bg senza generare autovalori spuri. E' stato altresi' dimostrato che, sotto opportune condizioni, si ha al piu' un autovalore spurio per ogni bg, in connessione con tecniche di troncamento in SLP singolari dotati di bg non banale in spettri essenziali non banali.

2.e) Analisi di metodi numerici per PDE
-------------------------------------------------
Metodi per la risoluzione numerica di PDE ellittiche sono stati analizzati in [20], mentre in [45,46] sono rispettivamente studiati metodi per la risoluzione di problemi di diffusione e problemi di trasporto.

3.a) Software per ODE/DAE-IVP
----------------------------------------
Relativamente a questo punto, si e' avuta la release di due codici Fortran. In particolare:
- la release della versione 2.0 del codice di calcolo BiM per la risoluzione di ODE-IVP di tipo stiff (aprile 2005), disponibile al sito [BIMD]. Una ampia sperimentazione prefigura il codice tra i più robusti ed efficienti attualmente disponibili;
- la release delle versioni 1.0 (ottobre 2005) e, successivamente, 1.1 (luglio 2006) e 1.1.1 (settembre 2006) del codice di calcolo BiMD per la risoluzione di ODE-IVP di tipo stiff e DAE linearmente implicite, di indice fino a 3. Il codice BiMD nasce come una (sostanziale) estensione del codice BiM descritto al punto precedente. Il codice e' disponibile allo stesso sito [BIMD] del codice BiM. Anche questo codice e' stato ampiamente sperimentato, risultando essere tra i piu' robusti ed efficienti attualmente disponibili. Dalla attivazione del sito [BIMD] (nel giugno 2003) sono stati registrati, ad oggi (gennaio 2007) oltre 3500 accessi.

3.b) Software per ODE-BVP
-----------------------------------
La tecnica di variazione del passo basata sul condizionamento del problema differenziale implementata con successo inserita nel codice TOM, e' stata inoltre generalizzata ed opportunamente modificata in modo da essere utilizzabile anche in altri due codici basati sulle deferred correction. Si e' dapprima lavorato, in collaborazione con il Prof. Jeff Cash (Imperial College, Londra), sul codice TWPBVP, che e' stato opportunamente modificato in modo da poter utilizzare una tecnica ibrida di variazione del passo, basata sia sul condizionamento che sul controllo dell'errore. I buoni risultati ottenuti da questa implementazione hanno motivato l'analisi di un'altro codice, TWPBVPL. Anche tale codice e' stato modificato e il nuovo codice, TWPBVPLC, permette di scegliere la tecnica di variazione del passo ibrida, opportumente modificata. I codici modificati sono stati resi recentemente disponibili in rete all'indirizzo [CASH].

3.c) Sviluppo del Test Set
---------------------------------
Il Test Set, disponibile in rete al sito [TESTSET], presenta una collezione di problemi a valori iniziali (IVP) che possono essere utilizzati per testare i codici che risolvono equazioni differenziali implicite. Include anche risultati sperimentali ottenuti da alcuni tra i piu' noti risolutori, e subroutines Fortran che forniscono uno standard di interfaccia per la definizione di nuovi problemi. Per rendere lo standard del Test Set utilizzabile anche in un problem solving environment, e' stata realizzata, in collaborazione con Jacek Kierzenka della Mathworks, Inc., un'interfaccia Matlab per tutti i problemi presenti nel Test Set, accompagnata da un driver di facile utilizzo che permette la risoluzione dei problemi utilizzando i codici del Matlab e le funzioni Fortran dei problemi test scritte secondo il formato del Test Set.
Tale interfaccia e' stata resa disponibile nella release 2.3 del Test Set. Rispondendo alle necessita' di molti utenti tale release contiene anche la possibilita' di risolvere on-line i problemi differenziali, dando come output la visualizzazione grafica della soluzione calcolata numericamente. Per tale scopo e' stata introdotta anche la registazione on line degli utenti, interfacciando il sito con un database degli iscritti, mediante i software MYSQL e PHP. Inoltre, nella release 2.3 e' stato inserito il codice BIMD, descritto al precedente punto 3.a), ed e' stato aggiornato il codice GAM.

4.a) Analisi di metodo tipo Newton in ottimizzazione
----------------------------------------------------------------
Nell’ambito della risoluzione numerica di problemi di controllo ottimo mediante la programmazione matematica, sono stati sviluppati diversi risolutori interni per il metodo iterativo di Newton del punto interno [36,39,40]. A riguardo, e' stata realizzata la routine BLKFCLT (disponibile al sito [BLKFCLT]) che si basa su una variante della routine LIPSOL di Ng-Peyton. Questa routine e' utilizzata nel codice del metodo di Newton del punto interno, sviluppato in C++, disponibile al sito [IPPCG]. Metodi per equazioni semismooth, cui si riconduce la risoluzione di diseguaglianze variazionali, sono stati introdotti in [37,38]. Altri risolutori iterativi sono stati studiati in [47].

4.b) Costruzione di un insieme di problemi test di controllo ottimo
---------------------------------------------------------------------------------
Al sito [OPTIM] è stato reso disponibile un test-set di problemi di controllo ottimo di tipo ellittico e di tipo parabolico, con vincoli sia sullo stato che sul controllo, descritti mediante modelli in linguaggio AMPL.

4.c) Analisi di metodi tipo proiezione per la programmazione quadratica (PQ)
------------------------------------------------------------------------------------------------
Sono stati studiati metodi del gradiente proiettato per i problemi PQ derivanti dall'addestramento di macchine a vettori di supporto (SVM) lineari e non lineari [48,49,50,51], introducendo, inoltre, nuove procedure parallele per l’aggiornamento del gradiente e per la selezione dell’insieme attivo. Questa analisi e' stata finalizzata alla realizzazione di un software parallelo, descritto al punto successivo.


4.d) Costruzione di un software per problemi di apprendimento automatico
---------------------------------------------------------------------------------------------
E’ stato realizzato il software PGPDT (Parallel GPDT), aggiornando, al contempo, una precedente versione seriale del software. PGPDT implementa, su architetture di calcolo parallele, una procedura iterativa di decomposizione che include recenti sviluppi teorici dei metodi tipo-gradiente proiettato usati per la risoluzione dei sottoproblemi di ottimizzazione quadratica che intervengono ad ogni iterazione nell'addestramento di SVM. La versione del software, resa disponibile nel luglio 2006 [49], ha consentito di sfruttare architetture parallele per addestrare SVM su insiemi costituiti da milioni di esempi, superando i limiti dei tradizionali software seriali. Il software prodotto è disponibile al sito web [GPDT] sotto licenza GNU (General Public License).


PUBBLICAZIONI PRINCIPALI SU RIVISTE A DIFFUSIONE INTERNAZIONALE
===========================================================
(per un elenco completo, vedi la successiva  DESCRIZIONE DETTAGLIATA DEI RISULTATI DELLE UNITA' OPERATIVE)

[1] L.Brugnano, K.Burrage, G.Carreras. On the convergence of LMF-type methods for SODEs. Mediterr. J. Math. 1 (2004) 297-313.
[2] L.Brugnano, C.Magherini. Some Linear Algebra Issues Concerning the Implementation of Blended Implicit Methods. Numer. Lin. Alg. Appl., 12 (2-3) (2005) 305-314.
[3] L.Brugnano, C.Magherini. Economical error estimates for Block Implicit Methods for ODEs via Deferred Correction., APNUM 56 (2006) 608-617.
[4] L.Brugnano, C.Magherini, F.Mugnai. Blended Implicit Methods for the numerical solution of DAE problems, Jour. CAM 189 (2006) 34-50.
[5] L.Brugnano, C.Magherini. Blended Implicit Methods for solving ODE and DAE problems, and their extension for second order problems Jour. CAM (in stampa).
[6] L.Aceto, R.Pandolfi, D.Trigiante. One parameter family of linear difference equations and the stability problem for the numerical solution of ODEs . Adv. in Difference Eq. (2006) Art. 19276, 1-14.
[7] L.Aceto, D.Trigiante. The stability problem for linear multistep methods: old and new results, Jour. CAM (in stampa).
[8] L.Aceto, R.Pandolfi, D.Trigiante. Stability analysis of linear multistep methods via polynomial type variation, JNAIAM (in stampa).
[9] R.Cash, F.Mazzia, N.Sumarti, D.Trigiante. The Role of Conditioning in Mesh Selection Algorithms for First Order Systems of Linear Two-Point Boundary Value Problems, Jour. CAM. 185 (2006) 212-224.
[10] F.Mazzia, D.Trigiante. An hybrid mesh selection strategy based on conditioning for boundary value ODEs problems. Numer. Alg. 36 (2) (2004) 169-187.
[11] F.Iavernaro, F.Mazzia, D.Trigiante. Stability and conditioning in numerical analysis, JNAIAM 1 (2006) 91-112.
[12] F.Mazzia, A.Sestini, D.Trigiante. BS linear multistep methods on non-uniform meshes., JNAIAM 1 (2006) 131-144.
[13] F.Mazzia, A.Sestini, D.Trigiante. B-Spline linear multistep methods and their continuous extensions, SIAM JNA 44 (2006) 1954-1973.
[14] F.Iavernaro, F.Mazzia, D.Trigiante. Multistep methods for Conservative Problems. Mediterr. J. Math. 2 (2005)53-69.
[15] F.Iavernaro, D.Trigiante. Discrete conservative vector fields induced by the Trapezoidal Method, JNAIAM 1 (2006) 113-130.
[16] F.Iavernaro, D.Trigiante. State dependent symplecticity and area preserving numerical methods, Jour. CAM (in stampa).
[17] P.Amodio, F.Mazzia, D.Trigiante. Symmetric schemes and Hamiltonian perturbations of linear Hamiltonian problems. Numer. Lin. Alg. Appl. 12 (2-3) (2005) 171-179.
[18] P.Amodio, F.Iavernaro, D.Trigiante. Conservative perturbations of positive definite Hamiltonian systems. Numer. Lin. Alg. Appl. 12 (2-3) (2005) 117-125.
[19] P.Amodio, F.Iavernaro, D.Trigiante. Symmetric schemes and Hamiltonian perturbations of linear Hamiltonian problems. Numer. Lin. Alg. Appl. 12 (2-3) (2005) 171-179.
[20] P.Amodio, I.Sgura, High order finite difference schemes for the solution of elliptic PDEs. In Computational and Information Science, J.Zhang, J.-H.He, Y.Fu (Eds.), LNCS 3314 (2004) 1-6.
[21] P.Amodio, I.Sgura, High order finite difference schemes for the solution of second order BVPs. Jour. CAM 176 (2005) 59-76.
[22] P.Amodio, On the computation of few eigenvalues of positive definite Hamiltonian matrices. Future Generation Computer Systems 22 (2006) 403-411.
[23] P.Amodio, G.Romanazzi, Algorithm 859: BABDCR-a Fortran 90 package for the solution of Bordered ABD linear systems. ACM TOMS 32 (2006) 597-608.
[24] P.Amodio, I.Gladwell, G.Romanazzi, Numerical solution of general Bordered ABD linear systems by cyclic reduction., JNAIAM 1 (2006) 5-12.
[25] F.Iavernaro, B.Pace, State-dependent symplecticity of symmetric methods, LNCS (2006) 724-731.
[26] J.R.Cash, F.Mazzia, A new mesh selection algorithm, based on conditioning, for two-point boundary value codes. Jour. CAM 184 (2005) 362-381.
[27] J.R.Cash, F.Mazzia, Hybrid Mesh Selection Algorithms, based on conditioning,for two-point boundary value problems, JNAIAM 1 (2006) 81-90.
[28] R.Pavani, R.Talamo, The representation of periodic solution of newtonian systems, Math. Comput. Model. 42 (2005) 1255-1262
[29] R.Pavani, On the Representation of close-to-equilibrium Solutions of n-dimensional Conservative Oscillators, Math. Comput. Model. (in stampa).
[30] L.Aceto, P.Ghelardoni, M.Marletta. Numerical computation of eigenvalues in spectral gaps of Sturm-Liouville operators, Jour. CAM 189 (2006) 453-470.
[31] M.Marletta, R.Romanov. Absence of the absolutely continous spectrum of a first order non selfadjoint Dirac-like system for slowly decaying perturbations, Ark. Mat. 44 (2006) 132-148.
[32] M.Marletta, R.Weikard. Weak stability for an inverse Sturm-Liouville problem with finite spectral data and complex potential, Inv. Problems 21 (2005) 1275-1290.
[33] P.Ghelardoni, G.Gheri, M.Marletta. A polynomial approach to the spectral corrections for Sturm-Liouville problems, Jour. CAM 185 (2006) 360-376.
[34] L.Aceto, P.Ghelardoni, G.Gheri. An algebraic procedure for the spectral corrections using the miss-distance functions in regular and singular Sturm-Liouville problems, SIAM JNA 44 (2006) 2227-2243.
[35] P.Ghelardoni, G.Gheri, M.Marletta. A quasi-extrapolation procedure for error estimation of numerical methods in Sturm-Liouville eigenproblems, Jour. CAM 164-165 (2004) 323-335.
[36] S.Bonettini, V.Ruggiero. Some iterative methods for the solution of a symmetric indefinite KKT systems, Comput. Optim. Appl. (in stampa).
[37] S.Bonettini, F.Tinti. A nonmonotone semismooth inexact Newton method, Optim. Meth. Software (in stampa).
[38] V.Ruggiero, F.Tinti. A preconditioner for solving large scale variational inequality problems by a semismooth inexact approach, Intern. J. Computer Math. (in stampa).
[39] S.Bonettini, E.Galligani, V.Ruggiero. An inexact Newton method combined with Hestenes multipliers' scheme for the solution of Karush-Kuhn-Tucker systems, Appl. Math. Comput. 168 (2005) 651-676.
[40] S.Bonettini, E.Galligani, V.Ruggiero. Inner solvers for interior point methods for large scale nonlinear programming, Comput. Optim. Appl. (in stampa).
[41] M.Carletti. Numerical solution of stochastic differential problems in the biosciences, Jour. CAM 185 (2006) 422-440.
[42] M.Carletti: Numerical simulation of a Campbell-like stochastic delay model for bacteriophage infection, IMA J. Math. Appl. Medicine Biology 23 (2006) 297-310.
[43] M.Carletti, E.Beretta. Numerical detection of instability regions for delay moldels with delay-dependent parameters, Jour. CAM (in stampa).
[44] T.Tian, K.Burrage, P.M.Burrage, M.Carletti. Stochastic delay differential equations for genetic regulatory networks, Jour. CAM (in stampa).
[45] L.Fatone, D.Funaro, G.J.Yoon. A convergence analysis for the superconsistent Chebyshev method, APNUM (in stampa).
[46] L.Fatone, D.Funaro, R.Giova. Finite-difference schemes for transport-dominated equations using special collocation nodes, Numer. Meth. PDE 21 (2005) 649-671.
[47] E.Galligani. The Arithmetic Mean method for solving systems of nonlinear equations in finite differences, Appl. Math. Comput. 181 (2006) 579-597.
[48] L.Zanni. An improved gradient projection-based decomposition technique for support vector machines, Comput. Management Sci. 3 (2006) 131-145.
[49] L.Zanni, T.Serafini, G.Zanghirati. Parallel software for training large scale support vector machines on multiprocessor systems, J. Machine Learning Res. 7 (2006) 1467-1492.
[50] T.Serafini, G.Zanghirati, L.Zanni. Gradient projection methods for quadratic programs and applications in training support vector machines, Optim. Meth. Software 20 (2005) 353-378.
[51] T.Serafini, L.Zanni. On the working set selection in gradient projection-based decomposition techniques for support vector machines, Optim. Meth. Software 20 (2005) 583-596.


LINK RELATIVI AL SOFTWARE SVILUPPATO
====================================

[TESTSET] http://pitagora.dm.uniba.it/~testset/

[BIMD] http://www.math.unifi.it/~brugnano/BiM/

[CASH] http://www.ma.ic.ac.uk/~jcash/BVP_software/twpbvp.php

[BABDCR] http://www.netlib.org/toms/859

[GPDT] http://www.dm.unife.it/gpdt/

[BLKFCLT] http://www.dm.unife.it/blkfclt/

[IPPCG] http://www.dm.unife.it/~bonettini/ip_pcg.htm

[OPTIM] http://www.dm.unife.it/~bonettini/ip_pcg/controllo.htm