Testo della "Gara Matematica"
del 18 Aprile 2002
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Alla fine delle partite di andata di un girone di Coppa dei Campioni la
classifica è la seguente:
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Punti |
Vinte |
Pareggi |
Perse |
Fatti |
subiti |
Manchester U. |
9 |
3 |
0 |
0 |
3 |
0 |
| Fiorentina |
6 |
2 |
0 |
1 |
3 |
1 |
| Juventus |
3 |
1 |
0 |
2 |
3 |
2 |
| Bayern M. |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
6 |
Con che punteggio è finita la partita Fiorentina - Juventus?
Provare che con 3 soli dati scelti opportunamente tra i 24 riportati è
possibile risalire al punteggio di quella partita.
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Partendo dal vertice evidenziato in figura si può fare un cammino
passando da vertice a vertice seguendo le frecce. Ogni freccia un passo. Un
vertice del grafo si dice raggiungibile in n passi se esiste un cammino di n
passi che ti porta dal punto evidenziato al vertice in questione. Dimostrare
che esiste un numero n tale che tutti i vertici sono raggiungibili in n passi.
Trovare il minimo n con tale proprietà.
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Il pavimento in figura ha le piastrelle a forma di triangolo equilatero.
Abbiamo a disposizione un ottaedro regolare con una faccia esattamente
sovrapposta alla piastrella A. Dimostrare che non è possibile portare
l'ottaedro dalla piastrella A alla piastrella B facendolo rotolare sugli
spigoli, in modo che la faccia che tocca terra sulla piastrella B sia la stessa
che tocca terra sulla piastrella A.
Quali sono tutte le possibili scelte della piastrella B per cui questo
risultato rimane valido?
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Determinare il minimo numero intero N con la seguente proprietà:
comunque presi N punti a tre a tre non allineati nel piano, tra questi ne
esistono sempre quattro che siano vertici di un quadrilatero convesso.
Qual'è invece il minimo numero intero M per cui comunque presi M punti
a tre a tre non allineati nel piano esistono almeno due quaterne distinte
(cioè che differiscono di almeno un punto) di punti vertici di
quadrilateri convessi?
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