Informazioni e modalità di esame

Calendario compitini a.a. 2013/14

Risultati compitini a.a. 2013/14

---

Teoria della misura e dell'integrale di Lebesgue

 
• Misura di aperti e compatti nello spazio euclideo e sue proprietà.
• Insiemi misurabili secondo Lebesgue e loro misura.
• Proprietà fondamentali degli insiemi misurabili (unione numerabile, intersezione e differenza).
• Additività numerabile della misura di Lebesgue.
• Successioni di insiemi misurabili.
• Esempi: insieme misurabile secondo Lebesgue ma non misurabile secondo Peano-Jordan; insieme di Cantor e funzione di Cantor; insieme aperto di misura piccola e con frontiera di misura infinita; insieme di Vitali (cioè non misurabile secondo Lebesgue).
• Funzioni misurabili e loro proprietà.
• Funzioni semicontinue.
• Funzioni semplici.
• Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici.
• Integrale di Lebesgue di una funzione misurabile non negativa e sue proprietà elementari. Principio di Cavalieri e funzione di distribuzione.
• Teorema di Beppo Levi sulla convergenza monotona.
• Lemma di  Fatou.
• Additività numerabile dell'integrale di funzioni non negative.
• Integrale di Lebesgue di funzioni sommabili e sue proprietà.
• Assoluta continuità dell'integrale di Lebesgue.
• Teorema di Lebesgue della convergenza dominata.
• Confronto tra integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue.
• I teoremi di  Fubini  e Tonelli.
• Teoria della misura astratta: analogie e differenze con la misura di Lebesgue; altri esempi di misure. La misura di  Hausdorff.

 

Alcuni risultati sulle funzioni convesse

• Funzioni convesse e concave e loro proprietà rispetto a limite ed ordine.
• Monotonia del rapporto incrementale di una funzione convessa.
• Derivate di funzioni convesse.
• Retta di supporto.
• Disuguaglianza di Jensen. Media aritmetica e media geometrica. Disuguaglianza di Young.

 

^{Spazi Lp}
 

• Disuguaglianza di Holder.
• Disuguaglianza di Minkowski.
• Estremo superiore essenziale e spazio L-infinito.
• L^p è uno spazio lineare normato.
• L^p è completo.
• Definizioni di spazio di Banach e di Hilbert.
• Disuguaglianza di Hanner. Disuguaglianza di Clarkson e uniforme convessità.
• Differenziabilità della norma.
• Proiezione su insiemi chiusi e convessi.
• Funzionali lineari e continui su L^p e convergenza debole.
• I funzionali lineari separano.
• Semicontinuità inferiore della norma.
• Il duale di L^p: teorema di rappresentazione di   Riesz.
• Convoluzioni. Disuguaglianza di Young con q=1 e p=r.
• Approssimazione mediante funzioni semplici e funzioni C-infinito a supporto compatto.
• Supporto di una funzione misurabile.
• Separabilità di L^p.
• Le successioni limitate sono debolmente compatte.
• Convoluzioni di funzioni in spazi duali sono continue.
• Peculiarità degli spazi L¹ e L-infinito.
• Il teorema di Ascoli-Arzelà.
• Enunciato del teorema di Riesz-Frechet-Kolmogorov.

 

_{Confronti tra convergenze}
 

• Teorema di Egorov-Severini. Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme.
• Teorema di Lusin. Funzioni misurabili e funzioni quasi continue.
• Convergenza in misura.
• Confronti tra convergenza in misura, quasi ovunque, forte in Lp e debole in Lp su insiemi di misura finita.

 

---

Testi di consultazione

 
• Fusco-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica II, Liguori editore, Napoli.
• Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
• Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.
• Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.
• Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri, Torino.
• DiBenedetto, Real Analysis, Birkhauser, Boston, MA, USA.

---

Materiale didattico scaricabile

• Dispense del corso (Versione aggiornata al 3 gennaio 2014)
• Dispensa sulla misura di Hausdorff a cura del dott. G. de Philippis