Stima del valore atteso

Conteggi di raggi cosmici

Data l'indipendenza degli eventi, il numero di conteggi $C$ misurato in ogni intervallo seguirà una distribuzione di Poisson con valore atteso pari a

$$E(C) = \Delta T \cdot \frac{dC}{dt} = \Delta T \int_{S,\omega} F_{\mu} d\omega dS \simeq \Delta T F_{\mu}(\theta=\pi/2) \frac{S}{d^2} S$$

(abbiamo trascurato le dimensioni lineari dei rivelatori rispetto a $d$, approssimando l'angolo azimutale $\theta$ a $\pi/2$ per tutti gli eventi e l'angolo solido accettato per ciascun punto del rivelatore a $\omega = S/d^2$)

$F_{\mu}$ è dunque semplicemente proporzionale al valore atteso della distribuzione, che può essere stimato correttamente e nel modo più efficiente dalla media aritmetica

$$\overline{C} = \sum_i C_i/N$$

la cui deviazione standard è stimata da

$$\overline{\sigma_C} = \sqrt{\frac{1}{N} \frac{\sum_i (C_i-\overline{C})^2}{(N-1)} }$$

Il seguente codice risolve il problema:

# creaiamo un dataframe dal file
# l'opzione skip permette di saltare le prime righe 
# di spiegazione nel file
df = read.table(file="/afs/math.unifi.it/service/Rdsets/CosmoData.txt",skip=7)
c = df$V3 
n=length(c)
d=47     # cm
S=251.7  # cm^2
deltaT=2 # minutes

cm=mean(c) # etc..
dcm=sqrt(var(c)/n)
cat("average counts is ",cm," +/- ",dcm,"\n")
k=(d/S)^2/deltaT
cat("flux is ",cm*k," +/- ",dcm*k," muons/cm^2/sterad/min\n")

Naturalmente avremmo potuto considerare la somma di tutti i conteggi come un unico conteggio corrispondente ad un intervallo $\Delta T' = N\Delta T$. In tal caso la media coincide con l'unico valore misurato $C'=\sum_i C_i$ e il risultato per il flusso resta invariato. Sapendo che la varianza della distribuzione di Poisson è uguale al valore atteso, il valore $C'$ è anche uno stimatore della varianza. L'errore standard su $C'$ è dunque semplicemente $\sqrt{C'}$.

L'aver suddiviso i conteggi in $N$ intervalli ci permette comunque di verificare l'ipotesi poissoniana:

x=10:60
hist(c,breaks=x)
points(x,dpois(x,lambda=cm)*n,type="s",col="red")