Francesco Mugelli

Le Frazioni continue

Cosa sono?
Gli sviluppi di numeri razionali
I convergenti
Gli sviluppi dei numeri irrazionali
Bibliografia

1. Cosa sono?

Consideriamo l'equazione:

x2 - 3x - 1 = 0.

Ricavando la x dal termine di secondo grado si ha:

Sostituiamo alla x al secondo membro il valore appena ricavato:

Proseguendo nelle sostituzioni arriviamo ad una espressione del tipo:

Una espressione di questo tipo si chiama frazione continua. Poiché la x continua ad apparire al secondo membro non c'è nessun motivo apparente per cui il valore della frazione si debba avvicinare a quello della soluzione dell'equazione. Se però diamo un'occhiata più attenta alla frazione continua, possiamo osservare che contiene una successione di frazioni:

ottenuta fermandoci ai vari stadi dello sviluppo. Se scriviamo come numeri decimali i valori di tali frazioni (che in seguito chiameremo convergenti della frazione), si scopre che danno approssimazioni sempre migliori della radice positiva dell'equazione considerata:

La radice positiva dell'equazione vale invece:

che coincide, se arrotondata alla terza cifra decimale, con il valore dell'ultimo convergente riportato (cioè il convergente fornisce un valore della radice dell'equazione con 3 cifre esatte).
I calcoli fatti suggeriscono un paio di domande:

  1. Che succede se proseguiamo a calcolare i convergenti? Otterremo approssimazioni sempre migliori della radice?
  2. Supponendo di poter proseguire il procedimento all'infinito, arriveremo al valore esatto della radice?

In generale, una frazione continua è una espressione del tipo

dove gli ai sono numeri interi positivi e sono detti quozienti della frazione. Un modo graficamente più conveniente di scrivere una frazione continua è:

[a1, a2, ..., an, ...]

D'ora in poi, per motivi di praticita' ulilizzeremo quest'ultima notazione.

2. Gli sviluppi di numeri razionali.

Un numero razionale si può sempre scrivere come p/q con p, q interi primi tra loro. Faremo vedere che ogni numero razionale si può scrivere come frazione continua finita (cioè con un numero finito di quozienti.

Esempio: 67/29 = [2, 3, 4, 2].
Come si arriva al risultato? Dividendo 67 per 29 si ottiene 2 con resto 9. Quindi:

Se ora dividiamo 29 per 9 si ottiene 3 con resto 2. Quindi, sostituendo:

Proseguendo finché non si ottiene resto zero si arriva al risultato.

Avremo anche potuto scrivere 67/29 = [2, 3, 4, 1, 1] (basta sostituire il 2 finale con 1+1/1). Questo ci permette di enunciare il teorema seguente:
Teorema: Ogni razionale si può scrivere in frazione continua sia con un numero pari che con un numero dispari di quozienti, modificando soltanto l'ultimo termine.
Questo teorema sarà utile per risolvere le equazioni diofantee.

Dalle divisioni successive per sviluppare un razionale p/q in frazione continua si ottengono le equazioni:

È interessante osservare che le equazioni scritte sono le stesse che figurano nell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore tra due numeri p e q.

3. I convergenti.

Se p/q = [a1, a2, ..., an, ...], le quantità

sono dette convergenti della frazione continua. L'ultimo convergente è uguale alla frazione stessa.
Dato che i convergenti sono essi stessi frazioni, possiamo porre che i convergenti godono della seguente proprietà:

Teorema dei convergenti: Se ci = pi / qi, allora piqi-1 - pi-1qi = (-1)i.
Il teorema si dimostra utilizzando il principio di induzione e la relazione di ricorrenza che lega tra loro i convergenti:

pi = aipi-1 + pi-2
qi = aiqi-1 + qi-2

per i = 3, 4, 5, ..., con i valori iniziali

p1 = a1 p2 = a2a1 + 1
q1 = 1 q2 = a2.

Anche il teorema dei convergenti è utilizzato nella soluzione delle equazioni diofantee.

4. Gli sviluppi dei numeri irrazionali.

Anche i numeri irrazionali possono essere sviluppati in frazione continua. La differenza più evidente rispetto ai razionali è che lo sviluppo che si ottiene non è finito. Ad esempio:

Come si ottengono questi sviluppi? Fino ad ora abbiamo determinato i quozienti prendendo il quoziente di una divisione, mentre il resto era il punto di partenza per calcolare il quoziente successivo.
Ora però non abbiamo più a che fare con razionali, quindi non abbiamo più a disposizione un numeratore e un denominatore per fare la divisione. Basta però accorgersi che quello che facevamo non era altro che prendere come quoziente la parte intera del valore decimale della frazione e come resto la parte decimale. I primi termini dello sviluppo del numero e, base dei logaritmi naturali, sono:

I numeri della forma

ovvero le soluzioni delle equazioni del tipo Q2x2 - 2PQx + (P2 - D) = 0, sono detti irrazionali quadratici. Hanno la caratteristica di avere lo sviluppo in frazione continua periodica; ad esempio, ricordando quanto detto all'inizio del primo paragrafo si vede subito che

Non è detto che gli sviluppi siano periodici puri: può anche essere presente una parte di antiperiodo, come ad esempio per

Il valore di una frazione continua periodica pura può essere calcolato facilmente utilizzando al contrario il procedimento utilizzato per calcolarla. Facendo riferimento al solito esempio di [3, 3, 3, ... ], basta osservare che se x è il valore della frazione continua, poiché il denominatore della prima frazione è la frazione stessa, deve valere la relazione

da cui si vede che x è la soluzione positiva dell'equazione x2 - 3x - 1 = 0.
In maniera simile si calcola il valore delle altre frazioni continue periodiche: consideriamo la frazione x = [2, 2, 4, 2, 4, ...]. Calcoliamo innanzitutto il valore della sua parte periodica utilizzando la tecnica appena vista:

Sostituendo poi il valore ottenuto nella frazione originaria ne possiamo calcolare il valore:

Siamo cosí in grado di calcolare il valore di una qualunque frazione continua periodica.

5. Bibliografia.