(per il corso di laurea in Scienze Matematiche, A.A. 2007/2008)
(Le lezioni del corso sono tenute dal Prof. O. Puglisi).
Programma del corso
Note sulla formula di Frobenius per il conteggio delle orbite
Argomento di Frattini
Lemma di Gauss e criterio di Eisenstein
Teorema Fondamentale dell'Algebra
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Diario delle lezioni.
| martedì 02 Ott. | Proprietà
delle potenze z-esime
di un
elemento. Gruppi di matrici: gruppo generale lineare e speciale lineare. Intersezioni di sottogruppi, sottogruppi generati e reticolo dei sottogruppi di un gruppo. |
| venerdì 05 Ott. | Sottogruppi di (Z,+). Gruppo dei movimenti rigidi di un quadrato e, più in generale, simmetrie di un poligono regolare. Gruppi diedrali. Simmetrie di poliedri. Calcolo dell'ordine di un gruppo. |
| lunedì 08 Ott. | Il gruppo S_3 e i suoi sottogruppi. Gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero. Esercizi sui gruppi abeliani e sui ciclici (finiti). |
| venerdì 12 Ott. | Sottogruppo generato da elementi che commutano. Sottogruppi di (Q,+) finitamente generati. Sottogruppi normali e non nei gruppi diedrali. |
| lunedì 15 Ott. | Il nucleo di un
omomorfismo come sottogruppo normale di un gruppo. Il centro del gruppo D_8. Isomorfismo tra i gruppi S_3 e D_6. |
| venerdì 19 Ott. | Esercizi sui sottogruppi normali e gruppi quozienti. Definizione di prodotto diretto. |
| lunedì 22
Ott. |
Lemma di Poincarè. Gruppo diedrale infinito e suoi quozienti. Un esercizio sul Teorema di Lagrange. |
| venerdì 26 Ott. | Definizione gruppo dei Quaternioni. Esercizio sul centro di un gruppo. Gruppi simmetrici: calcolo dell'ordine di una permutazione. Esercizi sui coniugati di una permutazione. |
| lunedì 29 Ott. | Teoria.
Decomposizione di una permutazione come prodotto di scambi. La parità ed il segno di una permutazione. Definizione del gruppo alterno. |
| venerdì 02 Nov. | Permutazioni pari. Gruppo simmetrico su 4 oggetti e suoi sottogruppi normali. |
| lunedì 05 Nov. | Quozienti di S_4. Esercizi sulle azioni di gruppi. Stabilizzatore di un punto in G_2(R) e in O_2(R). |
| venerdì 09 Nov. | Esercizi sulle azioni di gruppi. Azioni di p-gruppi. Lemma di Cauchy. |
| lunedì 12 Nov. | Applicazioni della formula di Cauchy-Frobenius a problemi di combinatoria enumerativa (colorazioni di collane). |
| venerdì 16 Nov. | Esercizi sui Teoremi di Sylow. |
| lunedì 19 Nov. | Argomento di Frattini. Criterio di non-semplicità per gruppi finiti. Esercizi sui Teoremi di Sylow. |
| venerdì 23 Nov. | Esercizi sulle estensioni di campi. Calcolo del polinomio minimo di un elemento e del grado di un'estensione |
| lunedì 26 Nov. | Lemma di Gauss e criterio di Eisenstein per la irriducibilità di un polinomio. Polinomi ciclotomici e radici primitive dell'unità. |
| lunedì 03 Dic. | Calcolo di campi di spezzamento di polinomi a coefficienti in Q. |
| venerdì 07 Dic. | Calcolo di campi di spezzamento di polinomi a coefficienti in Q. |
| lunedì 10 Dic. | Estensioni normali e separabili. |
| venerdì 14 Dic. | Numeri complessi e calcolo dei campi di spezzamento di radici dell'unità. |
| lunedì 17 Dic. | Esercizi sul gruppo di Galois di un polinomio e sulla corrispondenza di Galois. |
| venerdì 20 Dic. | Esercizi sulla corrispondenza di Galois. Teorema Fondamentale dell'Algebra. |
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