GARA MATEMATICA
PER STUDENTI DI SCUOLA SECONDARIA SUPERIORE
17 Aprile 2000

1) Ricordando la formula

\begin{displaymath}1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n (n + 1)}2, \end{displaymath}

determinare la somma dei numeri dispari non divisibili per 7 compresi tra 0 e 5000.

2) Dato un cerchio di raggio 10 cm ed un quadrato inscritto, si costruisce la figura qui sotto riportata. Tra tutti i cerchi contenuti nella figura, quale è quello con il raggio più grande? Quanto misura il suo raggio?


3) Da un'indagine ISTAT risulta che tra gli abitanti di una certa provincia, il 16% dei residenti nel capoluogo si trasferisce in campagna ogni anno, mentre il 34% degli abitanti della campagna si trasferisce nel capoluogo.

Se le previsioni fossero rispettate, nel 2003 il 65% della popolazione della provincia avrebbe la residenza nel capoluogo. Trascurando gli eventuali incrementi demografici, qual è attualmente (cioè nel 2000) la percentuale della popolazione che risiede nel capoluogo?

4) Comunque siano dati 20 punti nel piano, provare che si può tracciare una retta che lascia 5 punti da una parte e 15 dall'altra.

Provare poi che si può disegnare un cerchio tale che esattamente 5 punti si trovino al suo interno e 15 all'esterno.

Se i 20 punti si trovano tutti all'interno di un cerchio di raggio r, è possibile tracciare una circonferenza di raggio r che ne racchiuda esattamente 5?