Difettività delle varietà multisecanti alle Grassmanniane

Secanti e multisecanti a varietà algebriche

Per cominciare

Il problema di Waring per polinomi

Per cominciare

Consideriamo la curva razionale normale C₄ nello spazio proiettivo 4-dimensionale P ⁴

C₄

La varietà secante C₄² è la varietà di P⁴ formata dalla chiusura dell'unione di tutte le rette secanti alla curva:

C₄²

Come si può facilmente comprendere, una varietà secante molto spesso riesce a "riempire" tutto lo spazio in cui è immersa.
Tuttavia ci sono casi in cui questo non avviene, come il nostro:

dim (C₄²) = 3

e l'equazione che descrive C₄² è

Vediamo ora il caso della varietà di Veronese V_2,3, che è una superficie.

L'equazione della varietà secante V_2,3² è data da

quindi V_2,3² è un'ipersuperficie di P⁵ e ha dimensione 4, mentre la sua dimensione aspettata è

min { 5 , 2·dim ( V_2,3 ) + 1 } = min {5 , 5} = 5

in questo caso si dice che V_2,3² è una varietà difettiva .

Lo studio delle varietà secanti ha trovato interessanti applicazioni in campi talora inaspettati, fra cui

• la crittografia ,

• la geometria algebrica filogenetica ,

• la statistica algebrica .

Per una bibliografia parziale vedere qui.

Il problema di Waring per polinomi

Consideriamo ora un polinomio omogeneo di quarto grado

f(x,y) = a₀x⁴ + 4a₁ x³y + 6a₂x²y ² + 4a₃x y³ + a₄ y⁴.

Per quanto abbiamo detto su C₄² , se

allora f è somma di due quarte potenze.

Ecco una spiegazione .

Abbiamo dunque trovato un legame fra la varietà secante a C₄ e la scomposizione dei polinomi di quarto grado in due variabili come somma di due quarte potenze.

Proseguiamo.

Per le varietà secanti vale il lemma di Terracini, quindi lo spazio tangente a C₄² in un punto z coincide con lo spazio generato dalle rette tangenti a C₄ in due punti x e y della curva tali che z ∈ < x , y > :

spazio tangente a C₄²

Possiamo concludere che c'è una corrispondenza tra lo spazio tangente a C₄² e lo spazio generato da polinomi con radice tripla in un punto.

Ecco una spiegazione .

Consideriamo ora un polinomio omogeneo di secondo grado in tre variabili

f(x,y,z) = a₀x² + 2a ₁x y + a₃y² + 2a₂ x z + a₅z² + 2a₄ y z.

Per le osservazioni fatte su V_2,3² , se

allora f è somma di due quadrati.

Ecco una spiegazione .

Anche in questo secondo esempio abbiamo trovato una corrispondenza fra la varietà secante a V_2,3 e la scomposizione dei polinomi di secondo grado in due variabili come somma di due quadrati.

I due esempi che abbiamo fatto collegano le varietà secanti al cosiddetto problema di Waring per polinomi .

Supponiamo di avere un polinomio omogeneo f(X₀ ,..., X_n ) di grado k .

In generale,

Ecco perchè il problema di Waring si lega al problema della difettività:

per rispondere alla prima domanda è necessario conoscere la dimensione di V_{k , n+1}^s
e i casi in cui V_{k , n+1}^s è difettiva.

Nel 1995 J. Alexander e A. Hirschowitz hanno dimostrato a questo proposito un importante teorema che classifica le varietà di Veronese difettive.

Le varietà di Veronese difettive sono

V_{4 , 3}⁵, V_{4 , 4}⁹, V_{4 , 5}¹⁴, V_{3 , 5}⁷ e V_{2 , n+1}^s.

Questo teorema dà una soluzione al problema di Waring per polinomi.

Un polinomio omogeneo f(X₀ ,..., x_n ) di grado k si può rappresentare come somma di s potenze di forme

lineari

f = L1 k + ... + Ls k

, dove s =

1   n+1 ( k+n n ) ,

eccetto che nei casi

( n , k , s ) = (4 , 2 , 5) , (4 , 3 , 9) , (4 , 4 , 14) , (3 , 4 , 7) e k = 2.